Tenkeskriving og presentasjonsskriving i matematikk

Skriving kan bidra til læring i matematikk og er samtidig en viktig del av den matematiske kompetansen elevene skal utvikle.

Denne ressursen har vi utarbeidet i samarbeid med Matematikksenteret og viser hvordan skriving kan inngå som en naturlig del av matematikkfaget.

Kunnskapsløftet (LK06) fremhever at grunnleggende ferdigheter er avgjørende redskaper for læring og skal bidra til utvikling av elevenes kompetanse i alle fag. I tillegg er grunnleggende ferdigheter en del av kompetansen elevene skal utvikle i fagene, og de er integrert i kompetansemålene på de ulike fagenes premisser. Å kunne skrive er en av de fem grunnleggende ferdighetene. Skriving kan bidra til læring i matematikk og er samtidig en viktig del av den matematiske kompetansen elevene skal utvikle.

Å skrive i matematikk kan for eksempel være å:

  • Bruke tegninger, diagrammer, tabeller og grafer (se for eksempel Kadunz, 2007).
  • Beskrive tankeprosesser (se for eksempel Miller, 1991).
  • Presentere fremgangsmåter og resultater (se for eksempel Flesher, 2003).

Hovedmålet med matematikkopplæringen i skolen er å utvikle elevenes matematiske kompetanse. Kilpatrick og kolleger (2001) beskriver matematisk kompetanse [1] ved hjelp av fem komponenter (se under). Å kunne skrive inngår i alle de fem komponentene, for eksempel:

   
  • Begrepsmessig forståelse:
    Representere matematiske situasjoner på ulike måter
     
  • Beregning:
    Skriftlige prosedyrer.
     
  • Anvendelse:
    Beskrive løsningsmetoder.
     
  • Resonnering:
    Skriftlig argumentasjon og begrunnelse.
     
  • Engasjement:
    Mestre skriftlig kommunikasjon.

 

Niss og Jensen (2002) definerer matematisk kompetanse ved hjelp av åtte kompetanser. De framhever kommunikasjon som en egen kompetanse. Kommunikasjon i matematikk handler om å kunne uttrykke seg på forskjellige måter, både skriftlig, muntlig og visuelt, for å gjøre seg best mulig forstått. Videre handler kommunikasjon om å uttrykke seg på forskjellige nivåer av teoretisk og teknisk nøyaktighet om matematiske representasjoner. I møte med andre vil graden av matematisk kompetanse variere og språket må derfor tilpasses hver enkelt mottaker. Det teoretiske og tekniske nivået vil dermed avhenge av mottakers matematiske kompetanse, der en med høy matematisk kompetanse forstår en representasjon med høyere nivå av teoretisk og teknisk nøyaktighet enn en med lavere matematisk kompetanse.   

Vi ser at det å kunne skrive er viktig både i modellen til Kilpatrick med flere (2001) og modellen til Niss og Jensen (2002). Skriving er altså en sentral del av elevenes matematiske kompetanse, og i denne teksten vil vi beskrive to former for skriving i matematikk.

 

Tenkeskriving og presentasjonsskriving

Olga Dysthe, Frøydis Hertzberg og Torlaug Løkensgard Hoel (2000) har sett nærmere på to former for skriving: tenkeskriving og presentasjonsskriving. De beskriver tenkeskriving som skriving for å lære, der skrivingen blant annet handler om å få fram ideer og utforske og prøve ut tanker. Tenkeskrivingen blir dermed en måte å få orden på og strukturere tankene og ideene for seg selv, og er en skriveform som alle kan mestre. Presentasjonsskriving blir beskrevet som fagskriving der fokuset er å lære å skrive. I motsetning til tenkeskriving der skriveren selv er mottakeren, blir presentasjonsskriving brukt for å kommunisere med en leser eller lytter. Å skrive faglig presist med riktig terminologi er et viktig aspekt. Videre i teksten vil vi beskrive hvordan tenkeskriving og presentasjonsskriving kan bidra til å utvikle elevenes matematiske kompetanse.

 

Tenkeskriving i matematikk

Når elevene bruker skriving for å utvikle forståelse i matematikk, er skrivingen en tydeliggjøring av tanken, og skrivingen blir slik en støtte til tankeprosessen. Miller (1991) sier at fordi skriving leder oss til å tenke, vil elevers begrepsforståelse og ferdigheter i matematikk styrkes når de blir utfordret til å skrive om hva de har forstått. Denne formen for skriving kan sees på som tenkeskriving i matematikk. For eksempel kan elever i arbeidet med å løse et matematisk problem ha behov for å strukturere informasjon, prøve ulike løsningsstrategier, lage hjelpefigurer og gjøre mellomregninger. Alle oppgaver som innebærer å ha oversikt over mer informasjon enn det elevene greier å holde styr på i hodet, krever at elevene bruker skriving som verktøy i prosessen. I tillegg kan skriving i forbindelse med utprøvinger av ulike strategier, mellomregninger og modeller bidra til at elevene ser sammenhenger mellom representasjoner.

Et eksempel på en oppgave i matematikk som gir elevene mulighet til å tenkeskrive er oppgaven «heller i hagen». Denne aktiviteten har mange navn og presenteres i ulike former med ulike kontekster. For eksempel omtaler Boaler og Humphreys (2005) oppgaven som «the border problem». Oppgaven går ut på at elevene blir presentert et stort kvadrat som er delt inne i mange små kvadrater. Elevene skal finne ut hvor mange kvadrater den ytterste rekken av kvadrater består av. Oppgaven kan løses på mange ulike måter.

 

Illustrasjonen over viser hvordan en elev gikk fram da han fikk i oppgave å finne ut hvor mange kvadrater det er i rammen på et stort kvadrat som er delt inn i 25 små kvadrater. På bildet ser vi hvordan eleven har brukt tre forskjellige strategier for å løse oppgaven. Vi ser at eleven har brukt både illustrasjoner og mellomregninger. Vi vet ikke om eleven har brukt illustrasjonene som en del av strategien, eller om illustrasjonene er ment for å vise hva som er tenkt. Likevel får vi et innblikk i elevens matematiske ideer. Bruken av ulike representasjoner bidrar også til å styrke elevens forståelse om begreper (Kilpatrick, 2001).

Et annet eksempel på tenkeskriving kan være skriving for å utvikle begrepsforståelse. Bildet under viser et begrepskart der en elev har arbeidet med begrepet firkant. Begrepskartet består av fire ruter; definisjon, fakta, eksempler og moteksempler.

Etter at elevene har fylt ut rubrikkene definisjon og fakta i skjemaet, sitter de sammen i grupper for å diskutere hverandres beskrivelser og eventuelt justere på beskrivelsene i etterkant. Elevene får deretter se ulike figurer og skal sammen avgjøre om figurene er firkanter eller ikke, for så å plassere figurene under eksempler eller moteksempler i skjemaet sitt. Etter hvert som det dukker opp nye figurer, må elevene bedømme figurenes egenskaper og avgjøre om de passer inn i beskrivelsen de hadde laget på forhånd. Etter hvert som stadig nye figurer dukker opp, blir både elevenes beskrivelser og forståelse for firkanter utfordret. I løpet av denne prosessen stiller elevene gjerne spørsmål ved sine beskrivelser, noe som kan  resultere i ny forståelse og mer presise beskrivelser.


 

I eksemplet over blir skriving brukt til å forstå matematikk. Det er helt klart at det er et behov for ulike former for forklaringer og representasjoner for å forstå hvilke kriterier som definerer en firkant. Begrepskartet kan brukes til å utvikle forståelse for ulike begrep. Skjemaet utfordrer elevene sin forståelse for begreper de arbeider med gjennom at definisjoner endres, og nye eksempler, moteksempler og fakta skrives inn. Aktiviteten er hentet fra Metsisto, D. (2005) og oversatt til norsk.

 

Presentasjonsskriving i matematikk

Når elevene bruker skriving til å presentere en matematisk idé for en annen elev, blir måten det presenteres på avgjørende for om leseren kan ta del i denne idéen. Som tidligere nevnt, beskriver Niss og Jensen (2002) at kommunikasjonskompetanse i matematikk handler om å forstå og fortolke utsagn og tekster, og det handler om å uttrykke seg på forskjellige måter og på forskjellige nivåer. Kommunikasjon skjer mellom avsender og mottaker. Når elevene skal uttrykke seg, er det viktig at de kjenner til og kan bruke et riktig og presist fagspråk og tilpasse det slik at det blir forståelig for mottakeren. Å tilpasse språket til mottakere med lavere eller høyere faglig kompetanse er med på å utvikle skriverens forståelse av det aktuelle temaet (Niss & Jensen, 2002). En tilpasning av språket fører til refleksjon over egen tenkning fordi en skriftliggjøring eller muntlig verbalisering av et resonnement eller tankegang er kognitivt krevende. Skriveren blir tvunget til hele tiden å vurdere om det som blir skrevet faktisk underbygger egen tenkning. For å skrive til personer med høyere matematisk forståelse vil et mer presist språk med matematisk begrepsbruk være mer aktuelt. Skriveren reflekterer dermed over begrepenes betydning og får samtidig et nytt eksempel på en situasjon der begrepet kan brukes, som i sin tur beriker forståelsen for begrepet. For å skrive til personer med lavere matematisk forståelse, må språket forenkles på en slik måte at personen forstår hva som menes og samtidig passe på at innholdet ikke endres.

I de fleste klasserom blir elevenes kommunikasjonskompetanse utviklet gjennom et aktivt muntlig språk. Det kan skje gjennom aktiviteter som legger til rette for at elevene må bruke det muntlige språket aktivt ved å diskutere og argumentere. Niss og Jensen (2002) påpeker imidlertid at det skriftlige språket også er en del av kommunikasjonskompetansen. Elevene trenger trening i å kommunisere skriftlig og uttrykke seg på en slik måte at det som kommuniseres tilpasses mottakerens nivå og dermed blir forstått.

En aktivitet som legger til rette for at elevene får trent på skriftlig kommunikasjon, er en videreføring av oppgaven som er beskrevet ovenfor, der elevene skulle finne antall kvadrater i rammen av et stort kvadrat.

Elevbesvarelsen på bildet under viser hvordan en elev har forklart hvordan han har tenkt når han kom fram til uttrykket . Elevens presentasjon består både av notasjon, figurer og tekst, og alle representasjonene er viktige for å kommunisere hva som er tenkt.


 

I elevenes arbeid med slike presentasjoner får de trening i å argumentere og forklare tenkemåter skriftlig. Samtidig får de også utviklet sin matematiske kompetanse gjennom å tilpasse språket for en bestemt mottaker, som gjør at de må gå gjennom sin egen tankegang flere ganger. Det er imidlertid viktig at læreren ikke stopper her, men utfordrer elevene videre til å gjøre forklaringen og argumentasjonen bedre og med et mer presist fagspråk. I eksemplet over kan eleven for eksempel få spørsmål om hva som menes med «hjørnene er 4 uansett figur». Sannsynligvis mener elevene antall hjørner. Det kommer heller ikke klart fram at n står for figurens nummer i rekka, og at hver side i denne sammenhengen er antall steinheller på hver side av det store kvadratet sett bort fra de fire hjørnesteinene. Vi ser at figurene er en god støtte til teksten, men eleven kan fortsatt trene på å beskrive mer presist i verbalteksten. En måte å arbeide videre med slike presentasjoner på, er å la elevene lese hverandres tekster. Elevene kan gi tilbakemelding til hverandre om hva de forstår og hva som er vanskelig å forstå. 

I alle eksemplene som er vist her, har elevene brukt ulike representasjoner, og det ønsker vi å framheve som en viktig del av skriving i matematikk. Elever får tilgang til andre elevers matematiske ideer kun gjennom deres representasjoner av ideene fordi matematikken av natur er abstrakt. Hvor dyp forståelsen er, relateres til hvor sterkt elevenes representasjoner er knyttet til hverandre (NCTM, 2014). Gjennom aktiv bruk av både tenkeskriving og presentasjonsskriving vil elevers repertoar, bruk og forståelse av ulike representasjoner styrkes.

 


Litteratur

  • Boaler, J., & Humphreys, C. (2005). Connecting mathematical ideas: Middle school video cases to support teaching and learning (Vol. 1). Heinemann Educational Books.
  • Flesher, T. (2003). Writing to learn in mathematics. The WAC Journal, 14, 37-48.
  • Kilpatrick, J., Swafford, J., & Findell, B. (2001). Adding it up. Mathematics Learning Study Committee, Center for Education, Washington, DC: National Academy Press.
  • Kadunz, G. (2007) MATHEMATICAL WRITING. WORKING GROUP 1. The role of images and metaphors in the learning and understanding mathematics 83, 131.
  • Metsisto, D. (2005). Reading in the mathematics classroom. Hentet 11. april 2016, fra: http://www.ascd.org/publications/books/105137/chapters/Reading-in-the-Mathematics-Classroom.aspx
  • Miller, D. (1991). The mathematics teacher. Vol. 84 No. 7. pp. 516-521
  • National Council of Teachers of Mathematics. (2014). Principles to actions: Ensuring mathematical success for all.
  • Niss, M., & Jensen, T. H. (2002). Kompetencer og matematiklæring: Ideer og inspiration til udvikling av matematikundervisning i Danmark. København: Undervisningsministeriet.OECD. (2013) PISA 2012 Assessment and Analytical framework: Mathematics, Reading, Science,Problem Solving and Financial Literacy.
     
  • [1] Norsk oversettelse av Kilpatrick, Swafford & Findell (2001) sin definisjon av mathematical proficiency.
Til toppen